数学专业分类情况

代数和数论方向大致分支为：

算术几何（整合了数论与代数几何）方向、表示论方向、传统的代数和数论方向。

几何方向为：

低维度拓朴与曲率流，镜面对称、辛几何与仿射结构，非紧致及带边界流形，代数几何。

分析方向，约略可分为四大类：古典分析、泛函分析、调和分析、及非线性分析与凸分析。古典分析包含：

不等式理论、可和性理论、逼近论、特殊函数论、和复变量函数论等。泛函分析比较活跃的方向有：矩阵分析、算子理论、演化方程、及算子和函数代数等。调和分析，侧重欧式空间的傅立叶变换和小波变换。

微分方程（包括常微分和偏微分）则有许多重要活跃的领域及主题：

几何分析、抛物型及反应扩散方程、椭圆偏微分方程、Ginzburg-Landau方程、非线性薛丁格方程、守恒律方程、Navier-Stokes方程、动力学及波兹曼方程、常微分方程、动态系统 、微分方程的反问题等。

离散数学研究方向涵盖：

1）图着色相关问题，含点着色、边着色、圆着色、均匀着色、T着色、距离二标号等问题。2）图分解

3）代数图论

4）组合计数问题5.有限体及其应用。

概率方向涵盖：

1）马可夫过程、扩散过程的相关研究及应用2

2）概率论在金融领域的相关研究

3）无限维空间的随机分析及应用

4）数学物理

5）其他科学计算，大致可分为矩阵计算的理论及其应用，和偏微分方程数值理论及方法。主要是将科学或工程上的问题，经由物理定律或假设，导出适当的数学模型，并透过数学分析及数值计算来解决问题或作为实验之前的预估工作。狭义的计算科学是对某些特定的数学方程式，设计或应用有效的数值方法来解决问题。

数学专业与应用的联系

很多学数学的希望自己不要一直做基础研究，更多地区做一些应用，加强理论和现实中的联系。下来我谈一些各分支与应用之间的一些情况。

代数和数论方向：这个方向可以侧重于偏计算机编码和密码方面。不少大公司特别是IT方面，需要一批人做密码和计算机算法方面的研究。几何方向，如果侧重于低维拓扑，未来可以计算机图形方面。分析主要是调和分析和非线性分析方面，他们在应用方面有不少的需求。调和分析中的傅里叶变换和小波分析，在声音的去噪方面、图像的存储等有广泛的应用。非线性分析与凸分析是最近三十年开始重视起来的。由于自然界、物理、工程、管理、及经济上的很多问题都是非线性，为了解决这些问题，数学家利用非线性泛函分析与极值分析为主要研究工具，发展出一套的非线性分析及凸性分析数学理论来解决上述诸多问题。

微分方程：微积分方程方面的应用可谓是最为突出，他是应用数学中最为主要的方向。微分方程一直被广泛应用于自然科学、工程、及各种数学问题中。近年来，生物科学领域（如系统生物学、生理学）、经济及金融等领域，非常希望吸纳一批微分方程领域方面的专家，通过建模，去利用微分方程刻画和研究现实世界的问题。

离散数学的应用：计算机方面的算法、编码、密码、数据库、形式语言、VLSI设计，无不与离散数学息息相关。生物学里的分子生物学，在破解基因密码的过程里，长度极大的符号链，如何操作比对特定的样式，如何判定其中所包含的讯息、噪声或冗员，都成为极具挑战性的离散数学问题。经营管理方面，在全球经济与金融市场上的活动瞬息万变，如何谋求最大的利润，如何掌握最低的风险，数学规划在经营管理上成为不可或缺的工具。当变量是以整数的型态出现时，背后便少不了离散的数学架构。

概率方面：作为统计的基础，多地的是偏向于基础理论，没有独立地应用。概率也常常是很多应用领域重要基础工具之一。而科学计算方面，特别偏微分方程的数值解方面，已经在气象预报、空气动力学、量子力学、半导体组件之设计、光子晶体、冷原子现象、燃烧科学…得到了广泛地应用 。在超级计算机及并行计算机，科学计算随着计算的更新而改变其计算方法，更是功不可没，并极大地推动了应用领域的研究进程。利用有限元素法等，模拟大气海洋、风洞实验等大尺度流场，更是起着至关重要的作用。

数学专业就业情况

由于数学主要还是作为一门基础性学科，不少人主要就业还是到高校、中小学等从事研究和教育，担任数学家或者教师。《华尔街日报》曾经报到，依据美国劳工统计局和人口普查局的数据，和来自行业协会的研究，数学家排在最佳职业的头名，原因之一是他们的工作环境较好，没有有害气体和噪音干扰。读完Ph.D的，可以在回国，也可在美国本土高校做Faculty，完全能够达到美国中等收入，刚开始年薪一般不会低于5W$。一个朋友在Temple大学的数学系毕业，在中部的一个州做教师，第一年工资大概是年薪6W$。当然做中学的老师相对而言，也是一个不错的选择的。而美国总统奥巴马上台后，更是特别重视美国中小学生的数学教育，到美国中小学做数学老师也许会是一个很好的机会。

最近几十年，由于数学家在应用领域的重要性逐渐显现，还有应用数学的兴起，给数学背景毕业的学生带来了更加宽广的职业发展。

工业领域：主要是大型的IT、能源、物流、影视等等大型公司的研发机构。IT领域做算法，能源领域做数值计算，模拟，物流领域做网络或优化，影视领域做图像动画建模等。高新科技对这一块需求也是非常大的，比如飞机的风洞，导弹、航空航天器的空气动力方面，需要学数学的人做流体等方面的模拟和计算等等。人类对规律的探索必将日益精细，这也为数学家们提供了一个更好的平台——将数学更加广泛地应用于实际。

金融工程：这也是非常重要的一个就业方向。近几十年金融工程方面的理论发展，数学扮演很重要的角色，以概率论为基础，结合了统计、偏微分方程论、计算数学、数学优化理论。金融理论的研究在过去30年已经持续大量的发展，数学可应用于：风险资产(包含股票、债券、原物料商品等)价格模型的建立及统计分析、衍生性商品价格理论的建立及计算、最佳投资组合理论的研究。很多投行都很喜欢数学出身的人。

数学专业申请情况

近几十年来，美国高校在数学研究生方面，对中国学生的录取比率，基本上呈一个上升趋势。数学方面PhD的录取，基本上都会保持给申请者足够的资金支持，并且是保持一个稳定的资金支持，而其他专业有时并不保证。这也是很多学生考虑申请数学的一个重要原因。

不过今年申请的情况，可能是最近十多年都不曾遇到的。很多数学系由于学校的经费紧张，也缩小了招生规模。最为严重的，例如：今年Alberta的数学系从原来的招生40多人，骤减到20多人。今年数学的申请，拿奖学金的录取虽然比去年明显减少，但是相对其他专业而言还是非常不错的。

申请方面，中国大陆学生的竞争对手，主要有港台新三地还有东欧方面申请者。竞争优势不是特别明显，文书特别是推荐信更是造成了很多被动。如今大多数中国学生推荐信都是自己写的,很多学生在信中把自己夸得过分，弄得国外的招生委员会在招收中国学生时遇到了很大的麻烦——明明知道中国有很多好的学生，但是却不知道怎样找到这些优秀的人才。

软硬件背景的坚实，这是数学申请中非常重要的。但是如果能够再多一些对专业深刻地认识、或国外老师的直接推荐、或自我的积极主动推销，必将一定能够为你争取到更加好的结果。今年我有学生虽然本科GPA不到75,研究生GPA 85，GRE 1070，但拿到两所学校全奖，甚至还拿到数学专排Top30多的学校给予免学费的录取（TA的机会要第二年申请）。